Spørgsmål:
Hvem beviste først, at kun primer af formularen $ 4k + 1 $ deler ulige heltal af formularen $ n ^ 2 + 1 $?
kenneth watanabe
2019-02-11 21:47:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jeg skriver et papir, og jeg vil gerne citere den eller de personer, der har bevist, at kun primer af formularen $ 4k + 1 $ kan fordele ulige heltal af formularen $ n ^ 2 + 1 $ ?

For eksempel hvis $ n = 8 $ , $ n ^ 2 + 1 = 65 $ som kan deles jævnt med 5 og 13, som begge har formen $ 4k + 1 $ .

Jeg kender ikke svaret på dit spørgsmål, men bestemt vidste Fermat sådanne ting, så opdagelsen af ​​faktum ville have været tidligere ...
Vil bare nævne, at det med henblik på at validere dit samlede arbejde er enhver henvisning til en bog, der indeholder et bevis på denne sætning, tilstrækkelig. Jeg bifalder din hensigt om (derudover) at give den første person kredit til at finde et bevis.
Oystein Ore, i sin bog _Number Theory and its History_ nævner, at Brahmagupta arbejdede med numre af denne form i 6. Cenrury fvt. Men malm navngav bare værkerne og gik ikke i detaljer. Imidlertid diskuterer Ore summen af ​​to firkanter flere steder i sin bog.
En svar:
Conifold
2019-02-12 05:19:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det ser ud til at være Euler. Dickson, i Ch. XVI of History of the Theory of Numbers, skriver følgende:

" Euler diskuterede tallene $ a $ span> for hvilket $ a ^ 2 + 1 $ kan deles med en primær $ 4n + 1 = r ^ 2 + s ^ 2 $ . Lad $ p / q $ være den konvergente forud for $ r / s $ span > i den fortsatte fraktion for $ r / s $ ; derefter $ ps-qr = 1 $ . hver $ a $ har formen $ (4n + 1) m \ pm k $ , hvor $ k = pr + qs $ . Euler gav $ 161 $ heltal $ a< 1500 $ som $ a ^ 2 + 1 $ er en prime, og sagerne $ a = 1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 34 $ for hvilke $ a ^ 4 + 1 $ er en prime.

Den første optræden er i brevet til Goldbach fra 9. juli , 1743. Euler kom tilbage til disse numre i 1755 og 1762:

[...] Euler behandlede problemet for at finde alle heltal, for hvilke $ a ^ 2 + 1 $ kan deles med en given primær $ 4n + 1 = p ^ 2 + q ^ 2 $ . Hvis $ a ^ 2 + b ^ 2 $ kan deles med $ p ^ 2 + q ^ 2 $ , der findes heltal $ r, s $ således at $ a = pr + qs, b = ps-qr $ span>. Vi ønsker $ b = \ pm1 $ . Derfor tager vi den konvergente $ r / s $ forud for $ p / q $ i den fortsatte brøkdel for $ p / q $ . Således $ ps-qr = \ pm1 $ , og vores svar er $ a = (pr + qs) $ span >. Han opførte alle primtal $ P = 4n + 1<2000 $ udtrykt som $ p ^ 2 + q ^ 2 $ , og angav alle $ a $ s, for hvilke $ a ^ 2 + 1 $ kan deles med $ P $ . Tabellen kan bruges til at finde alle divisorer $ <a $ i $ a $ givet antal $ a ^ 2 + 1 $ . Han gav sit bord og tabellerede værdierne $ a<1500 $ for hvilke $ (a2 + 1) / k $ er en prime for $ k = 2, 5, 10 $ . Han tabulerede alle skillerne i $ a ^ 2 + 1 $ for $ a \ leq1500 $ . "

Fermat er nævnt på samme side, men kun i forbindelse med noget andet, så jeg tvivler på, at han undersøgte faktoriseringer af $ a ^ 2 + 1 $ . Lehmer i Guide to Tables in the Theory of Numbers (s.31) navngiver også Euler som den første til at producere en faktoriseringstabel på $ a ^ 2 + 1 $ tal i 1762, og ingen andre.

Hvad angår Fermat, findes der næsten ingen bevis af ham, en bemærkelsesværdig undtagelse er et tilfælde af hans sidste sætning for $ n = 4 $ . Euler gjorde det generelt til sin opgave at sortere Fermats gæt. F.eks. Vidste Fermat, at $ 2 ^ {2 ^ n} + 1 $ alle var primtimer efter kontrol af de første fire. Euler beregnet $ 2 ^ {2 ^ 5} + 1 = 641 \ times6700417 $ . Ingen andre primer af denne form dukkede op siden.

Fermat hævdede med breve, at han kunne bruge sin nedstigningsmetode til at vise enhver primærdeling af et antal af formen $ n ^ 2 + 1 $ er en sum af to firkanter, så medmindre primtalet er $ 2 $, skal det være $ 1 \ bmod 4 $. Se side 67 i Weils * Talteori: en tilgang gennem historien *.


ⓘ
Denne spørgsmål og svar blev automatisk oversat fra det engelske sprog.Det originale indhold er tilgængeligt på stackexchange, som vi takker for den cc by-sa 4.0-licens, den distribueres under.
Loading...