"Modeksempler" til Cauchys sætning blev "opdaget", så snart han beviste det. Selvfølgelig vidste Cauchy alle disse "modeksempler", men han insisterede på, at hans sætning og dens bevis er korrekt indtil hans død.

Især Fouriers bog om varme er fuld af disse modeksempler. Fourier forsøger at afklare sagen ved at definere en kontinuerlig funktion som en "hvis graf kan tegnes uden at løsne blyanten fra papiret". Så fra Fouriers synspunkt består kurvekonsekvensen af ​​den negative $ x $ -stråle, et lodret segment fra $ (0,0) $ til $ (0,1) $ og den vandrette stråle fra $ (0,1) $ til højre, er en graf over en kontinuerlig funktion :-).

Jeg husker, at definitionen af ​​"funktion" din bliver undervist i din Calculus-klasse på grund af Dirichlet, og dette var meget senere end Cauchy.

Din funktion, som er nul på $ [0,1) $ og $ 1 $ ved $ 1 $, var simpelthen ikke en "funktion" for Cauchy. Om udviklingen af ​​begrebet "funktion", læs Luzins papir i Amer. Matematik. Månedligt.

Problemet er, at hverken forestillingen om kontinuerlig funktion eller begrebet konvergens af funktioner var tilstrækkeligt formaliseret på det tidspunkt. Hvis du læser Cauchys bevis, er det i det væsentlige korrekt, men han bruger virkelig ensartet konvergens. Begrebet ensartet konvergens blev ikke formaliseret på det tidspunkt.

Alle disse ting blev først afklaret på tidspunktet for Weierstrass. I dag tænker vi alle inden for de rammer, som Cantor skaber, så vi kan ikke forstå det vanskelige, der opleves af matematikere før Cantor, Dedekind og Weierstrass. For at forstå dem skal man læse de originale tekster og glemme, hvad man blev undervist i i Calculus-klassen.

Jeg tilføjer til Alexandres svar, at med den måde, Cauchy tænkte på kontinuum og defineret konvergens, konvergerede "modeksemplerne" ikke til de grænser, vi tilskriver dem i dag. For Cauchy er "point" "bevægelige punkter", så han ville overveje $ x = 1-1 / n $ med variabel $ n $ går til $ \ infty $ et "punkt" uendeligt tæt på $ 1 $ . Men $ (1-1 / n) ^ n $ konvergerer ikke til $ 1 $ , så $ x ^ n $ konvergerer ikke til noget ved $ 1 $ ifølge Cauchy. Han afskedigede Abels og Fouriers "modeksempler" af samme grund, se Lakatos, Cauchy og Continuum.

Med Cauchys "bevægelige punkter" viser hans "punktvise" konvergens sig at antyde Weierstass ensartede konvergens. Mere om Cauchys forståelse af uendelige størrelser og kontinuitet i Fishers Cauchy and the Infinitely Small, som også giver en moderne rekonstruktion af Cauchys argument med hensyn til ikke-standard analyse, hvor det er korrekt.

Cauchys formulering af sætningen i 1821 er tvetydig, og i hvert fald synes Cauchy i en artikel fra 1853 at sige, at den var forkert som anført. På den anden side ændrer Cauchy hypoteserne i artiklen fra 1853 og hævder, at dette resulterer i en ægte sætning, der giver et bevis herpå. Eksistensen af ​​et korrekt resultat (modulo-modificerede hypoteser) kunne forklare, hvorfor det måske ikke var åbenlyst, at sætningen er forkert.

Der er spildt meget blæk på dette emne. Bruger Conifold ser ud til at anvende Lakatos 'terminologi, der søgte at forklare Cauchy i form af såkaldte "bevægelige punkter". Jeg forstår personligt ikke, hvad disse bevægende punkter er, og foretrækker den forklaring, som D. Laugwitz gav i sin artikel fra 1987 i Historia Mathematica her: http://www.sciencedirect.com/ science / article / pii / 0315086087900450

I sin artikel understreger Laugwitz, at han giver en fortolkning ved hjælp af Cauchys egne koncepter, og at der ikke er behov for ikke-standardtal for at forklare Cauchy, i modsætning til Fisher citeret af bruger Conifold.

Vores seneste artikel beskæftiger sig med nogle aspekter af denne debat: http://dx.doi.org/10.1007/s10699-015-9473-4