Jeg har ikke afgørende beviser, men jeg vil nævne sandsynlige mistænkte og anlægge en omstændighed. Forhåbentlig vil det få bolden til at rulle.

"Basis" som genererende sæt idealer kan være blevet introduceret før Hilbert af Dedekind, selvom Hilbert ikke brugte ordet. Dedekind introducerede "idealer" i (hvad vi kalder) nummerringe kun i supplementerne til 1879-udgaven af ​​ Vorlesungen über Zahlentheorie, men brugte "modul" tilbage i 1871. Et genererende sæt af idealet er så naturligt et grundlag for "modulet" analogt med vektorrumsbasis. I 1882 relaterede Dedekind og Weber "geometriske ideer med ringe af polynomer og udvidede brugen af ​​moduler" i henhold til MacTutors ringteori. Forresten, mens "ideelt", "modul" og "felt" er Dedekinds neologismer, er "ring" Hilberts fra 1893 (i print 1897).

Det vi ved med sikkerhed er, at van der Waerden i sin berømte moderne algebra bruger "basis" som en selvfølge og relaterer eksplicit det til modulets fortolkning. Han kalder også Hilbert-grundlæggende sætning ved dette navn og er sandsynligvis Gröbners og Buchbergers kilde.

De to bind af moderne algebra blev udgivet i 1930 og 1931, men skrevet i 1926-1929 under stærk indflydelse af Emmy Noether af Van der Waerden. Van der Waerden blev den moderne algebraist, da han arbejdede under Noether i Göttingen i 1924-1925. Noether selv blev konverteret til Dedekind-Hilbert-metoderne af Fischer tilbage i Erlangen siden 1911 og blev hurtigt en sådan autoritet over for dem, at Hilbert og Klein inviterede hende til Göttingen i 1915. Hendes sædvanlige papir Idealtheorie i Ringbereichen (1921) er frøet til moderne algebra og giver nedbrydning af idealer i skæringspunkter mellem primære idealer i kommutative ringe med stigende kædetilstand. Nu kaldes disse "Noetherian ringe", og Hilbert "basis" sætningen er bevist for polynomiske ringe over dem. Mit gæt er, at van der Waerden fik sin brug af "basis" fra Noether, og at hun var den, der døbte Hilberts sætning med sit moderne navn. Hun kunne også have været den første til at bruge "basis" på denne måde, men det kunne være Dedekind eller nogen derimellem.