Jeg er meget interesseret i at vide om historisk udvikling af magtserier, dvs. $$ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xc) ^ n = a_0 + a_1 (xc) + a_2 (xc) ^ 2 + \ dots $$ Hvad var situationen og den historiske kontekst, der nødvendiggjorde opdagelsen af magtserier? Hvorfor havde matematikere oprindeligt brug for power series?
Nogle magtserier, som den geometriske progression, blev faktisk stødt på siden oldtiden, men den første person, der systematisk brugte dem, var I. Newton. Faktisk betragtede Newton dette som sin vigtigste matematiske opdagelse: at enhver ligning (algebraisk, differentieret osv.) Kan løses ved at erstatte en effektserie med ubestemte koefficienter, og derefter kan koefficienterne findes successivt. Dette er den vigtige besked i hans to kodede sætninger, som han sendte til Leibniz via Oldenburg. Her kan du læse en diskussion om disse kodede meddelelser: https://mathoverflow.net/questions/140327/arnold-on-newtons-anagram Det fremgår tydeligt af Newtons matematiske papirer, at for ham "beregning "var i det væsentlige brugen af magtserier. Matematikere fra det 18. århundrede begyndte straks at bruge dem til alle mulige problemer. Men de udførte for det meste formelle manipulationer. Den strenge teori om konvergens går tilbage til Cauchy og Abel, hvorefter teorien i det væsentlige fusionerede med teorien om analytiske funktioner.
Som bemærket af Victor J. Katz er kilden til Newtons introduktion af uendelige serier uendelige decimaler. Victor J. Katz giver et citat fra Newton, hvor sidstnævnte udtrykkeligt siger, at uendelige decimaler var kilden til hans inspiration, og udtrykker undring over, hvorfor ingen andre forsøgte at studere disse.
Uendelige decimaler var banebrydende af Simon Stevin. Mens Stevin ikke er nævnt eksplicit af Newton i dette citat, var decimaltegn og uendelige decimaler i stadig højere grad brugt blandt europæiske matematikere, selvom det tog et stykke tid, før de blev almindelige.
Derfor kilderne til uendelige serier kan også søges i Stevins arbejde.
Stevin var også banebrydende for synspunktet om at betragte alle tal (rationelle eller irrationelle) som givet ved deres uendelige decimalrepræsentation i sin bog L'Arithmetique . Han var således også en pioner inden for det reelle talesystem næsten tre århundreder før Cantor og Dedekind.
i sit første papir om beregningen (1669) brugte Newton serien til at integrere funktionen $ y = \ frac1 {1 + x ^ 2} $, hvor han brugte binomial sætning og integrerede udtryk for term producerede det uendelige polynom .