For at arbejde skal vejemetoden også have en arealstandard, skåret fra det samme ark. Galileo skulle angiveligt balancere cykloidudskæringen med dens genererende cirkel og fandt ud af, at de var som $ 3: 1 $ , men troede ikke på det, fordi han forventede, at de var uforlignelig. Den første tilknytning, der kommer til at tænke på, er Archimedes's metode, hvor han skærer kegle, kugle og cylinder i tynde skiver og derefter afbalancerer dem på et håndtag. Naturligvis var dette en rent mental øvelse, men i den berømte Eureka-hændelse (hvis Vitruvius fortæller sig antages) var Archimedes formodentlig at balancere den mistænkelige krone og en guldplade på fysiske skalaer. Selvfølgelig var det at sammenligne tætheder snarere end områder eller volumener, men genindstillingen er ligetil.

Galileo-historien er ikke ligefrem en anekdote. Det rapporteres af hans loyale assistent (nogle siger "desciple") Torricelli i Opera Geometrica (1644), kun to år efter Galileos død og citerede et 1639-brev fra Galileo til ham. Torricelli og hans studerende Viviani tilbragte de sidste år af Galileos liv (1639-1642) med at hjælpe ham og var to af de tre mennesker til stede ved hans dødsleje, den tredje var hans søn. Efter Galileos død skrev Viviani imidlertid sin første biografi, hvor han fortalte en anden historie, du har hørt om den, om kuglerne faldet fra det skæve tårn i Pisa. "Han udsmykkede tydeligt tingene lidt ...". Det betyder ikke, at eleven tog læreren efter, og Torricellis cykloide historie er også sammensat, men det rejser tvivl. Roberval, en af ​​Torricellis korrespondenter, fandt området cycloid geometrisk tilbage i 1634, så han vidste sandsynligvis, hvad det korrekte forhold var, selv uden Galileos brev.

Med risiko for at give materiale til sammensværgelsesteoretikere vil jeg påpege endnu et særpræg af historien. En anden "afskiller" af Galileo, Cavalieri, genopfandt Archimedes's metode til "ikke-delbare" i 1627 og i en strømlinet form, der ikke krævede løftestænger og afbalancering. I 1644, samme år, som Torricelli offentliggjorde sin cycloide historie, brugte Cavalieri ikke-delbare ting til at vise, at cycloid er til den genererende cirkel som $ 3: 1 $ . Torricelli overdømte Cavalieri med ros for ikke-delbare ting, men skrev:

"Jeg skulle ikke tør bekræfte, at denne geometri af uindivider faktisk er en ny opdagelse. Jeg skulle hellere tro på, at de gamle geometrikere brugte sig selv af denne metode for at opdage de sværere sætninger, skønt de i deres demonstration måske har foretrukket en anden måde, enten at skjule hemmeligheden bag deres kunst eller ikke give anledning til kritik fra uhyggelige kriminelle ".

I dette var han en profet. I 1906 fandt Heiberg en palimpsest, senere tabt igen og genopdaget med meget hype i 1998, indeholdende den eneste eksisterende kopi af Archimedes's Method. Det er et brev til Eratosthenes, hvor han "benyttede sig af denne metode" til at afbalancere de udelelige skiver kegle, kugle og cylinder på en håndtag for at finde deres volumenforhold. Metoden han "skjulte" i On the Sphere and Cylinder ved at give et uoplyst, men upåklageligt udmattelsesbevis, "at give ingen anledning til kritik". Så vidt vi kender, hverken Cavalieri eller Torricelli eller nogen anden i Vesten kendte metoden før 1906. Nogle gange blinker historien til os. ;-)